|
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАПреподаватель: ст.преподаватель Ольга Вячеславовна Фукалова E-mail: olga_1999em@mail.ru Всего: - практические занятия – 4 часа; - лекции – 10 часов; Контроль: - экзамен - контрольная работа
Элементы теории вероятностей и математической статистики Варианты контрольной работы Номер варианта контрольной работы, выполняемой студентом, должен совпадать с последней цифрой номера его зачетной книжки. Задание 5 смотреть в общей таблице. Вариант 0
Найти: a) неизвестную вероятность p; b) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины; в) функцию распределения и построить её график; г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью
а ) 30 студентов; б) от 30 до 40 студентов?
Смотреть в общей таблице. Вариант 1 1. В коробке 25 одинаковых по форме шоколадных конфет. Известно, что 15 штук из них сорта «Мишка на Севере», а остальные — сорта «Красная Шапочка». Случайным образом выбирают 3 конфеты. Вычислите вероятность того, что среди них: а). Все конфеты сорта «Мишка на Севере»; б). Только одна конфета этого сорта.
3. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
Найти: a. неизвестную вероятность р; b. математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины; в. функцию распределения и построить её график; г. закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью
а) имеют дефект 45; б) не имеют дефекта от 230 до 250?
Смотреть в общей таблице.
Вариант 2 1. В туристической группе 15 человек, среди которых только 5 человек хорошо говорят по-английски. В Лондоне группу случайным образом расселили в два отеля (3 человека и 12 человек соответственно). Вычислите вероятность того, что из членов группы в первом отеле: а) все туристы говорят хорошо по-английски; б). Только один турист хорошо говорит по-английски.
Найти: а) неизвестную вероятность р; б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины в) функцию распределения и построить её график; г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью
4. Установлено, что предприятие бытового обслуживания выполняет в срок в среднем 60% заказов. Какова вероятность того, что из 150 заказов, принятых в течение некоторого времени, будут выполнены в срок: а) 90 заказов; б) от 93 до 107 заказов?
Смотреть в общей таблице.
Вариант 3 1. К экзамену приготовлено 24 одинаковых ручки. Известно, что треть из них имеет фиолетовый стержень, остальные - синий стержень. Случайным образом отбирают три ручки. Вычислить вероятность того, что а) все ручки имеют фиолетовый стержень; б) только одна ручка имеет фиолетовый стержень. 2. Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, а во вторую - 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира нужные ему билеты будут распроданы, равна 0,35 для первой кассы и 0,7 для второй. Пассажир посетил одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел его во второй кассе? 3. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
Найти: а) неизвестную вероятность р; б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины; в) функцию распределения и построить её график; г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью
4. Известно, что в данном технологическом процессе 10% изделий имеют дефект. Какова вероятность того, что в партии из 400 изделий: а) не будут иметь дефекта342 изделия; б) будут иметь дефект от 30 до 52 изделий. Смотреть в общей таблице. Вариант 4 1. В упаковке 12 одинаковых книг. Известно, что каждая третья книга имеет дефект обложки. Случайным образом выбирают 3 книги. Вычислите вероятность того, что среди них: а) все книги имеют дефект обложки; б). Только одна книга имеет этот дефект. 2. Два контролера производят оценку качества выпускаемых изделий. Вероятность того, что очередное изделие попадет к первому контролеру, равна 0,55; ко второму контролеру — 0,45.Первый контролёр выявляет дефект с вероятностью 0,8, а второй - с вероятностью 0,9. Вычислите вероятность того, что изделие с дефектом будет признано годным к эксплуатации.
3. Задан закон распределения дискретной случайной величины X эксплуатации.
Найти: а) неизвестную вероятность р; б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины; в) функцию распределения и построить её график; г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью 4. По данным телеателье установлено, что в среднем 20% цветных телевизоров выходят из строя в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что из 225 проданных телевизоров будут работать исправно в течение гарантийного срока: а) 164 телевизора; б) от 172 до 184 телевизоров.
Смотреть в общей таблице. Вариант 5
Найти: а) неизвестную вероятность р; б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднееквадратическое отклонение s данной случайной величины; в) функцию распределения F(x) и построить ей график; г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью
а) будут иметь дефекты отделки 60 пар; б) не будут иметь дефектов отделки от 120 до 148 пар.
Смотреть в общей таблице. Вариант 6
Найти: а) неизвестную вероятность р; б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины; в) функцию распределения F(x) и построить ей график; г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью
4. Известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки 0,49. Какова вероятность того, что 300 новорожденных окажется: а) 150 мальчиков; б) от 150 до 200 мальчиков?
Смотреть в общей таблице. Вариант 7 1. В студенческой группе 20 девушек. Известно, что 5 из них не любят читать детективы. Случайным образом выбирают трех девушек и дарят им по детективу. Вычислите вероятность того, что: а). Все девушки оценят этот подарок; б). Только одна девушка оценит этот подарок.
2. Товаровед плодоовощной базы определяет сорт поступившей от постоянного поставщика партии яблок. Известно, что в среднем 40% выращенного поставщиком урожая составляют яблоки первого сорта. Вероятность того, что товаровед признает первосортную партию первым сортом, равна 0,85. Кроме того, он может допустить ошибку, сочтя непервосортную партию первосортной, с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что он неверно установит сорт партии яблок?
3. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:
Найти: а) неизвестную вероятность р; б) математическое ожидание М, дисперсию D к среднее квадратическое отклонение s. в) функцию распределения F(x) и построить ей график; г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью
4. Вероятность нормального расхода электроэнергии за день ша предприятии бытового обслуживания равна 0,7. Какова вероятность того, что из 90 дней предприятие нормально расходует электроэнергию: а) в течение 60 дней; б) от 60 до 90 дней?
Смотреть в общей таблице. Вариант 8 1. В коробке 30 одинаковых юбилейных монет. Известно, что 5 из них имеют нестандартный процент содержания золота. Случайным образом выбирают три монеты. Вычислите вероятность того, что: а). Все монеты имеют нестандартный процент содержания золота; б). Только одна монета имеет нестандартный процент содержания золота.
Найти: а) неизвестную вероятность р; б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины. в) функцию распределения F(x) и построить ей график; г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью
4. Известно, что вероятность опоздания ежедневного поезда на станцию равна 0,2. Какова вероятность того, что в течение 200 дней поезд опоздает на станцию: а) 50 раз; б) от100 до 150 раз?
Смотреть в общей таблице. Вариант 9
Найти: а) неизвестную вероятность р; б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение s данной случайной величины. г) закон распределения случайной величины , если её значения заданы функциональной зависимостью
4. Установлено, что третья часть покупателей, при посещении модного магазина приобретает себе одежду. Какова вероятность того, что из 150 посетителей магазина: а) ровно 50 человек приобретут товар; б) от 100 до 120 человек приобретут товар?
Смотреть в общей таблице.
Задание 5
После обработки результатов эксперимента составлена таблица, в первой строке которой указаны группы возможных значений некоторой случайной величины , а во второй строке – численность каждой группы значений . Найти объем выборки ;относительные частоты , соответствующие каждой отдельной группе значений случайной величины; составить вариационный ряд распределения данной случайной величины. Найти числовые характеристики выборки: среднее арифметическое, выборочную дисперсию и среднеквадратическое отклонение (см. табл.):
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ КВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ЗАДАЧА 1 Наскладе университетахранится 28 одинаковых упаковок писчейбумаги. Известно, что в четырехиз нихсодержитсябумага более низкого качества. Случайнымобразомвыбирают три упаковкибумаги, Вычислить вероятность того, что среди них; нет упаковок с бумагой более низкого качества, есть однаупаковкатакой бумаги. Решение. Общеечисло возможныхэлементарныхисходов для данных испытанийравно числуспособов, которымиможноизвлечь 3 упаковки бумаги из28 упаковок, то есть
= = = =13·9·28=3276 – числу сочетаний из 28 элементов по 3. а)Подсчитаемчисло исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковокс бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числуспособов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть = = = =11·23·8=2024 искомая вероятностьравна отношению числа исходов, благоприятствующихсобытию, к числу всех элементарных исходов: P1 = = ≈0,62 б) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех упаковокбумаги ровно 1 упаковкасодержитбумагу болеенизкого качества): две упаковкиможно выбрать из 24 упаковок: = = = =276 способами, при этом одну упаковку нужно выбирать из четырех: = = =4 способами. Следовательно,число благоприятствующих исходов равно · =276·4=1104 Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всехэлементарныхисходов p 2= = ≈0,34 Ответ: а) p1 =0,62;б) р2 =0,34.
ЗАДАЧА 2 Магазинполучает электролампочкис двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, чтодоля брака на этих заводах равна соответственно5 % и 10 % от всей выпускаемой продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?
Решение: Обозначим черезАсобытие - « лампочкаокажетсябракованной ». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: H1 -лампочка поступила с первого завода, H2 -лампочка поступила со второгозавода. Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равнысоответственно p(H1)= = 0,25; p(H2) = =0,75. Условная вероятность того, что бракованнаялампочка выпущенапервымзаводом – p(A/H1) = =0,05, вторымзаводом- p(A/H2) = =0,10 искомую вероятностьтого, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности р(А) = P(H1)· p(A/H1)+P(H2)·(A/H2)= 0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0.0875 Ответ: р(А) = 0,0875. Для решениязадачи5 см. [5]глава6 § 1—3, глава 7 § 1-2, глава8 § J—3.
ЗАДАЧА 3. Задан закон распределения дискретной случайной величены X:
Найти: а) неизвестную вероятность р. б) математическое ожидание М, дисперсию D исреднее квадратическоеотклонение σ данной случайной величены; Решение: а) так как сумма всех, вероятностей должна равняться единице, тополучим уравнение 0,05- p + 0,12 + 0,23-0,32 + 0,14+0,04 = 1. Отсюда р + 0,9 = 1и р= 0,1. б)Математическое ожидание М это сумма всех произведенийзначенийслучайной величины на их вероятности: М = (-4)·0,05+(-2)·0,1 + 0·0,12 + 2·0,23 + 4·0,32 + 6·0,14 + +8·0,04-0,2-0,2+0 + 0,46 + 1,28 + 0,84 + 0.32 = -0,4 + 2,9 = 2,5.
Дисперсия D =∑(x1)2· p1-M2= = (-4)·0.05+(-2)2·0,1+02·0,12+22·0,23+42·0,32+62·0,14+82·0,04-(2,5)2= =0,8+0+0,92+5,12+5,04+2,56-6,25=8,59 Среднее квадратическое отклонение σ = = ≈2,9
в) Если Если Если Если Если Если Если Если Итак, функция распределения может быть записана так: График этой функции приведен на рисунке:
г) Сначала найдем значения случайной величины . По условиям задачи Поэтому Составим таблицу вида:
Чтобы получить закон распределения случайной величины необходимо: 1) рассмотреть её значения; 2) сложить вероятности, соответствующие совпадающим значениям данной таблицы. Итак, закон распределения случайной величины :
ЗАДАЧА 4. Известно, что вероятность положительного исхода некоторого опыта равна 0,125. Найдите вероятность того, что в серии из 128 опытов положительный исход произойдет а) в 20 опытах б) от 12 до 20 опытов. Решение: а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна ,равна раз (безразлично, в какой последовательности) приближенно равна Так как . Значение функции находим в таблице: Итак,
Отметим, что таблица функции приведена только для положительных значений. Если же значение х получилось отрицательным, точки знак минус можно просто опустить в силу четности функции . б) воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит от до раз приближенно равна Так как , где Значение функции также находим в специальной таблице. В таблице . Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что является нечетной функцией, то есть . Итак, Отсюда Ответ:
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Тема 1. Основные понятия теории вероятностей. Случайные события Предмет и задачи теории вероятностей. Статистические закономерности, области применения теории вероятностей в экономике и коммерции. Опыт, событие. Относительная частота, ее устойчивость. Построение математической модели случайного опыта: пространство элементарных событий. Алгебра событий. Поле событий. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Примеры вероятностных моделей. Классическая вероятность. Элементы комбинаторики. Геометрическая вероятность. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимость событий. Формулы полной вероятности и Бейеса.
Тема 2. Случайные величины Определение случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Ряд распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Плотность распределения и функция распределения непрерывной случайной величины. Основные числовые характеристики случайных величин (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение) и их свойства. Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|