|
Показательная парная регрессия.
1.4 Гиперболическая парная регрессия рассчитывается по формуле:
Для определения параметров a и b необходимо линеаризировать предыдущую формулу. Для этого сделаем замену:
Тогда
Для определения параметров a и b используем следующие формулы:
В таблице рассчитываем средние значения величин x, x*, y, x*y, x*2.
n
| у
| х
| x*=1/x
| x*x*
| x*y
|
| 11,92
| 18,26
| 0,0548
| 0,002999
| 0,652793
|
| 8,34
| 21,90
| 0,0457
| 0,002085
| 0,380822
|
| 7,08
| 12,12
| 0,0825
| 0,006808
| 0,584158
|
| 10,52
| 17,52
| 0,0571
| 0,003258
| 0,600457
|
| 18,68
| 26,28
| 0,0381
| 0,001448
| 0,710807
|
| 8,24
| 11,86
| 0,0843
| 0,007109
| 0,694772
|
| 10,50
| 15,08
| 0,0663
| 0,004397
| 0,696286
|
| 7,34
| 10,56
| 0,0947
| 0,008968
| 0,695076
|
| 7,28
| 10,40
| 0,0962
| 0,009246
| 0,7
|
| 6,72
| 10,78
| 0,0928
| 0,008605
| 0,623377
|
| 8,18
| 10,80
| 0,0926
| 0,008573
| 0,757407
|
| 9,04
| 13,64
| 0,0733
| 0,005375
| 0,662757
|
| 7,34
| 10,74
| 0,0931
| 0,008669
| 0,683426
|
| 6,56
| 11,78
| 0,0849
| 0,007206
| 0,556876
|
| 9,20
| 12,52
| 0,0799
| 0,00638
| 0,734824
|
| 7,60
| 10,42
| 0,0960
| 0,00921
| 0,729367
|
| 8,78
| 12,52
| 0,0799
| 0,00638
| 0,701278
|
| 6,88
| 10,42
| 0,0960
| 0,00921
| 0,660269
|
| 8,02
| 13,16
| 0,0760
| 0,005774
| 0,609422
|
| 10,28
| 14,92
| 0,0670
| 0,004492
| 0,689008
| среднее
| 8,9250
| 13,7840
| 0,0775
| 0,0063
| 0,6562
|
Вычислим значение коэффициента регрессии b:
Вычислим значение коэффициента регрессии a:
Тогда показательное уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом:
Гиперболическая парная регрессия.
- Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции.
2.1.1 Показатель корреляции для линейной регрессии:
, где .
n
| у
| х
| xx
| xy
| yy
|
| 11,92
| 18,26
| 333,4276
| 217,6592
| 142,0864
|
| 8,34
| 21,9
| 479,6100
| 182,6460
| 69,5556
|
| 7,08
| 12,12
| 146,8944
| 85,8096
| 50,1264
|
| 10,52
| 17,52
| 306,9504
| 184,3104
| 110,6704
|
| 18,68
| 26,28
| 690,6384
| 490,9104
| 348,9424
|
| 8,24
| 11,86
| 140,6596
| 97,7264
| 67,8976
|
| 10,5
| 15,08
| 227,4064
| 158,3400
| 110,2500
|
| 7,34
| 10,56
| 111,5136
| 77,5104
| 53,8756
|
| 7,28
| 10,4
| 108,1600
| 75,7120
| 52,9984
|
| 6,72
| 10,78
| 116,2084
| 72,4416
| 45,1584
|
| 8,18
| 10,8
| 116,6400
| 88,3440
| 66,9124
|
| 9,04
| 13,64
| 186,0496
| 123,3056
| 81,7216
|
| 7,34
| 10,74
| 115,3476
| 78,8316
| 53,8756
|
| 6,56
| 11,78
| 138,7684
| 77,2768
| 43,0336
|
| 9,2
| 12,52
| 156,7504
| 115,1840
| 84,6400
|
| 7,6
| 10,42
| 108,5764
| 79,1920
| 57,7600
|
| 8,78
| 12,52
| 156,7504
| 109,9256
| 77,0884
|
| 6,88
| 10,42
| 108,5764
| 71,6896
| 47,3344
|
| 8,02
| 13,16
| 173,1856
| 105,5432
| 64,3204
|
| 10,28
| 14,92
| 222,6064
| 153,3776
| 105,6784
| среднее
| 8,925
| 13,784
| 207,236
| 132,2868
| 86,6963
|
Определим среднеквадратические отклонения:
Определим показатель корреляции: .
2.1.2 Показатель корреляции для степенной регрессии:
,где
.
n
| у
| х
| x*=lg(x)
| y*=lg(y)
| y*y*
| ŷ*
| e=y*-ŷ*
| ee
|
| 11,92
| 18,26
| 1,2615
| 1,0763
| 1,1584
| 1,0435
| 0,0328
| 0,0011
|
| 8,34
| 21,90
| 1,3404
| 0,9212
| 0,8485
| 1,1048
| -0,1836
| 0,0337
|
| 7,08
| 12,12
| 1,0835
| 0,8500
| 0,7226
| 0,9053
| -0,0553
| 0,0031
|
| 10,52
| 17,52
| 1,2435
| 1,0220
| 1,0445
| 1,0296
| -0,0075
| 0,0001
|
| 18,68
| 26,28
| 1,4196
| 1,2714
| 1,6164
| 1,1663
| 0,1051
| 0,0111
|
| 8,24
| 11,86
| 1,0741
| 0,9159
| 0,8389
| 0,8980
| 0,0179
| 0,0003
|
| 10,50
| 15,08
| 1,1784
| 1,0212
| 1,0428
| 0,9790
| 0,0422
| 0,0018
|
| 7,34
| 10,56
| 1,0237
| 0,8657
| 0,7494
| 0,8589
| 0,0068
| 0,0000
|
| 7,28
| 10,40
| 1,0170
| 0,8621
| 0,7433
| 0,8537
| 0,0084
| 0,0001
|
| 6,72
| 10,78
| 1,0326
| 0,8274
| 0,6845
| 0,8658
| -0,0385
| 0,0015
|
| 8,18
| 10,80
| 1,0334
| 0,9128
| 0,8331
| 0,8664
| 0,0463
| 0,0021
|
| 9,04
| 13,64
| 1,1348
| 0,9562
| 0,9143
| 0,9452
| 0,0110
| 0,0001
|
| 7,34
| 10,74
| 1,0310
| 0,8657
| 0,7494
| 0,8646
| 0,0011
| 0,0000
|
| 6,56
| 11,78
| 1,0711
| 0,8169
| 0,6673
| 0,8957
| -0,0788
| 0,0062
|
| 9,20
| 12,52
| 1,0976
| 0,9638
| 0,9289
| 0,9163
| 0,0475
| 0,0023
|
| 7,60
| 10,42
| 1,0179
| 0,8808
| 0,7758
| 0,8544
| 0,0264
| 0,0007
|
| 8,78
| 12,52
| 1,0976
| 0,9435
| 0,8902
| 0,9163
| 0,0272
| 0,0007
|
| 6,88
| 10,42
| 1,0179
| 0,8376
| 0,7016
| 0,8544
| -0,0168
| 0,0003
|
| 8,02
| 13,16
| 1,1193
| 0,9042
| 0,8175
| 0,9331
| -0,0289
| 0,0008
|
| 10,28
| 14,92
| 1,1738
| 1,0120
| 1,0241
| 0,9754
| 0,0366
| 0,0013
| среднее
| 8,9250
| 13,7840
| 1,1234
| 0,9363
| 0,8876
| 0,936325
| 0,000003
| 0,003364
| Определим индекс корреляции:
; ;
.
2.1.3 Показатель корреляции для показательной регрессии:
,где
n
| у
| х
| y*=lg(y)
| y*y*
| ŷ*
| e=y*-ŷ*
| ee
|
| 11,92
| 18,26
| 1,0763
| 1,1584
| 1,0303
| 0,0460
| 0,0021
|
| 8,34
| 21,90
| 0,9212
| 0,8485
| 1,1067
| -0,1855
| 0,0344
|
| 7,08
| 12,12
| 0,8500
| 0,7226
| 0,9013
| -0,0513
| 0,0026
|
| 10,52
| 17,52
| 1,0220
| 1,0445
| 1,0147
| 0,0073
| 0,0001
|
| 18,68
| 26,28
| 1,2714
| 1,6164
| 1,1987
| 0,0727
| 0,0053
|
| 8,24
| 11,86
| 0,9159
| 0,8389
| 0,8959
| 0,0201
| 0,0004
|
| 10,50
| 15,08
| 1,0212
| 1,0428
| 0,9635
| 0,0577
| 0,0033
|
| 7,34
| 10,56
| 0,8657
| 0,7494
| 0,8686
| -0,0029
| 0,0000
|
| 7,28
| 10,40
| 0,8621
| 0,7433
| 0,8652
| -0,0031
| 0,0000
|
| 6,72
| 10,78
| 0,8274
| 0,6845
| 0,8732
| -0,0458
| 0,0021
|
| 8,18
| 10,80
| 0,9128
| 0,8331
| 0,8736
| 0,0392
| 0,0015
|
| 9,04
| 13,64
| 0,9562
| 0,9143
| 0,9332
| 0,0229
| 0,0005
|
| 7,34
| 10,74
| 0,8657
| 0,7494
| 0,8723
| -0,0066
| 0,0000
|
| 6,56
| 11,78
| 0,8169
| 0,6673
| 0,8942
| -0,0773
| 0,0060
|
| 9,20
| 12,52
| 0,9638
| 0,9289
| 0,9097
| 0,0541
| 0,0029
|
| 7,60
| 10,42
| 0,8808
| 0,7758
| 0,8656
| 0,0152
| 0,0002
|
| 8,78
| 12,52
| 0,9435
| 0,8902
| 0,9097
| 0,0338
| 0,0011
|
| 6,88
| 10,42
| 0,8376
| 0,7016
| 0,8656
| -0,0280
| 0,0008
|
| 8,02
| 13,16
| 0,9042
| 0,8175
| 0,9232
| -0,0190
| 0,0004
|
| 10,28
| 14,92
| 1,0120
| 1,0241
| 0,9601
| 0,0519
| 0,0027
| среднее
| 8,9250
| 13,7840
| 0,9363
| 0,8876
| 0,9363
| 0,0001
| 0,0033
|
Определим индекс корреляции:
; ;
.
2.1.4 Показатель корреляции для гиперболической регрессии:
,где
n
| у
| х
| x*=1/x
| y*y
| ŷ
| e=y-ŷ
| ee
|
| 11,92
| 18,26
| 0,0548
| 142,0864
| 11,6717
| 0,2483
| 0,0617
|
| 8,34
| 21,90
| 0,0457
| 69,5556
| 12,7713
| -4,4313
| 19,6367
|
| 7,08
| 12,12
| 0,0825
| 50,1264
| 8,3200
| -1,2400
| 1,5376
|
| 10,52
| 17,52
| 0,0571
| 110,6704
| 11,3922
| -0,8722
| 0,7608
|
| 18,68
| 26,28
| 0,0381
| 348,9424
| 13,6907
| 4,9893
| 24,8929
|
| 8,24
| 11,86
| 0,0843
| 67,8976
| 8,1015
| 0,1385
| 0,0192
|
| 10,50
| 15,08
| 0,0663
| 110,2500
| 10,2765
| 0,2235
| 0,0499
|
| 7,34
| 10,56
| 0,0947
| 53,8756
| 6,8475
| 0,4925
| 0,2426
|
| 7,28
| 10,40
| 0,0962
| 52,9984
| 6,6715
| 0,6085
| 0,3703
|
| 6,72
| 10,78
| 0,0928
| 45,1584
| 7,0810
| -0,3610
| 0,1303
|
| 8,18
| 10,80
| 0,0926
| 66,9124
| 7,1017
| 1,0783
| 1,1627
|
| 9,04
| 13,64
| 0,0733
| 81,7216
| 9,4308
| -0,3908
| 0,1527
|
| 7,34
| 10,74
| 0,0931
| 53,8756
| 7,0392
| 0,3008
| 0,0905
|
| 6,56
| 11,78
| 0,0849
| 43,0336
| 8,0323
| -1,4723
| 2,1677
|
| 9,20
| 12,52
| 0,0799
| 84,6400
| 8,6385
| 0,5615
| 0,3153
|
| 7,60
| 10,42
| 0,0960
| 57,7600
| 6,6938
| 0,9062
| 0,8212
|
| 8,78
| 12,52
| 0,0799
| 77,0884
| 8,6385
| 0,1415
| 0,0200
|
| 6,88
| 10,42
| 0,0960
| 47,3344
| 6,6938
| 0,1862
| 0,0347
|
| 8,02
| 13,16
| 0,0760
| 64,3204
| 9,1077
| -1,0877
| 1,1831
|
| 10,28
| 14,92
| 0,0670
| 105,6784
| 10,1906
| 0,0894
| 0,0080
| среднее
| 8,9250
| 13,7840
| 0,0775
| 86,6963
| 8,9195
| 0,0055
| 2,6829
| Определим индекс корреляции:
; ;
.
Вывод:
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока: 0.1 < rxy < 0.3: слабая; 0.3 < rxy < 0.5: умеренная; 0.5 < rxy < 0.7: заметная; 0.7 < rxy < 0.9: высокая; 0.9 < rxy < 1: весьма высокая;
Исходя из значений коэффициентов и индексов корреляции линейной, степенной, показательной и гиперболической парных регрессий можно сделать вывод, что линейная, степенная, показательная и гиперболическая регрессии обладают высокой функциональной связью.
Оценка тесноты связи с помощью показателей детерминации.
для линейных регрессий. для нелинейных регрессий.
- показатель детерминации для линейной регрессии.
- показатель детерминации для степенной регрессии.
- показатель детерминации для показательной регрессии.
- показатель детерминации для гиперболической регрессии.
Вывод:
Наибольший показатель детерминации вычислен для линейной регрессии, следовательно из всех представленных уравнений, уравнения линейной регрессии объясняет 70,7% дисперсии результативного фактора.
- Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.
Линейная парная регрессия.
n
| у
| х
| ŷ
|
|
| 11,92
| 18,26
| 11,3309
| 0,0494
|
| 8,34
| 21,9
| 13,2874
| 0,5932
|
| 7,08
| 12,12
| 8,0306
| 0,1343
|
| 10,52
| 17,52
| 10,9331
| 0,0393
|
| 18,68
| 26,28
| 15,6416
| 0,1627
|
| 8,24
| 11,86
| 7,8909
| 0,0424
|
| 10,5
| 15,08
| 9,6216
| 0,0837
|
| 7,34
| 10,56
| 7,1921
| 0,0201
|
| 7,28
| 10,4
| 7,1061
| 0,0239
|
| 6,72
| 10,78
| 7,3104
| 0,0878
|
| 8,18
| 10,8
| 7,3211
| 0,1050
|
| 9,04
| 13,64
| 8,8476
| 0,0213
|
| 7,34
| 10,74
| 7,2889
| 0,0070
|
| 6,56
| 11,78
| 7,8479
| 0,1963
|
| 9,2
| 12,52
| 8,2456
| 0,1037
|
| 7,6
| 10,42
| 7,1169
| 0,0636
|
| 8,78
| 12,52
| 8,2456
| 0,0609
|
| 6,88
| 10,42
| 7,1169
| 0,0344
|
| 8,02
| 13,16
| 8,5896
| 0,0710
|
| 10,28
| 14,92
| 9,5356
| 0,0724
| | | | Σ
| 1,9723
|
Степенная парная регрессия.
n
| у
| х
| ŷ
|
|
| 11,92
| 18,26
| 11,0535
| 0,0727
|
| 8,34
| 21,9
| 12,7287
| 0,5262
|
| 7,08
| 12,12
| 8,0412
| 0,1358
|
| 10,52
| 17,52
| 10,7041
| 0,0175
|
| 18,68
| 26,28
| 14,6640
| 0,2150
|
| 8,24
| 11,86
| 7,9069
| 0,0404
|
| 10,5
| 15,08
| 9,5277
| 0,0926
|
| 7,34
| 10,56
| 7,2255
| 0,0156
|
| 7,28
| 10,4
| 7,1403
| 0,0192
|
| 6,72
| 10,78
| 7,3421
| 0,0926
|
| 8,18
| 10,8
| 7,3526
| 0,1011
|
| 9,04
| 13,64
| 8,8136
| 0,0250
|
| 7,34
| 10,74
| 7,3209
| 0,0026
|
| 6,56
| 11,78
| 7,8655
| 0,1990
|
| 9,2
| 12,52
| 8,2464
| 0,1036
|
| 7,6
| 10,42
| 7,1510
| 0,0591
|
| 8,78
| 12,52
| 8,2464
| 0,0608
|
| 6,88
| 10,42
| 7,1510
| 0,0394
|
| 8,02
| 13,16
| 8,5718
| 0,0688
|
| 10,28
| 14,92
| 9,4491
| 0,0808
| | | | Σ
| 1,9679
|
Показательная парная регрессия.
n
| у
| х
| ŷ
|
|
| 11,92
| 18,26
| 10,7136
| 0,1012
|
| 8,34
| 21,9
| 12,7735
| 0,5316
|
| 7,08
| 12,12
| 7,9635
| 0,1248
|
| 10,52
| 17,52
| 10,3373
| 0,0174
|
| 18,68
| 26,28
| 15,7839
| 0,1550
|
| 8,24
| 11,86
| 7,8641
| 0,0456
|
| 10,5
| 15,08
| 9,1878
| 0,1250
|
| 7,34
| 10,56
| 7,3853
| 0,0062
|
| 7,28
| 10,4
| 7,3285
| 0,0067
|
| 6,72
| 10,78
| 7,4643
| 0,1108
|
| 8,18
| 10,8
| 7,4715
| 0,0866
|
| 9,04
| 13,64
| 8,5703
| 0,0520
|
| 7,34
| 10,74
| 7,4498
| 0,0150
|
| 6,56
| 11,78
| 7,8337
| 0,1942
|
| 9,2
| 12,52
| 8,1189
| 0,1175
|
| 7,6
| 10,42
| 7,3356
| 0,0348
|
| 8,78
| 12,52
| 8,1189
| 0,0753
|
| 6,88
| 10,42
| 7,3356
| 0,0662
|
| 8,02
| 13,16
| 8,3738
| 0,0441
|
| 10,28
| 14,92
| 9,1170
| 0,1131
| | | | Σ
| 2,0230
|
Гиперболическая парная регрессия.
n
| у
| х
| ŷ
|
|
| 11,92
| 18,26
| 11,6717
| 0,0208
|
| 8,34
| 21,9
| 12,7713
| 0,5313
|
| 7,08
| 12,12
| 8,3200
| 0,1751
|
| 10,52
| 17,52
| 11,3922
| 0,0829
|
| 18,68
| 26,28
| 13,6907
| 0,2671
|
| 8,24
| 11,86
| 8,1015
| 0,0168
|
| 10,5
| 15,08
| 10,2765
| 0,0213
|
| 7,34
| 10,56
| 6,8475
| 0,0671
|
| 7,28
| 10,4
| 6,6715
| 0,0836
|
| 6,72
| 10,78
| 7,0810
| 0,0537
|
| 8,18
| 10,8
| 7,1017
| 0,1318
|
| 9,04
| 13,64
| 9,4308
| 0,0432
|
| 7,34
| 10,74
| 7,0392
| 0,0410
|
| 6,56
| 11,78
| 8,0323
| 0,2244
|
| 9,2
| 12,52
| 8,6385
| 0,0610
|
| 7,6
| 10,42
| 6,6938
| 0,1192
|
| 8,78
| 12,52
| 8,6385
| 0,0161
|
| 6,88
| 10,42
| 6,6938
| 0,0271
|
| 8,02
| 13,16
| 9,1077
| 0,1356
|
| 10,28
| 14,92
| 10,1906
| 0,0087
| | | | Σ
| 2,1280
| Вывод:
Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 10-12%, следовательно чем ниже процент ошибки, тем предпочтительней уравнение регрессии. В нашем случае наиболее предпочтительней использовать уравнение степенной регрессии, а так все функции находятся в пределах нормы средней ошибки аппроксимации.
Оцените статистическую надёжность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. Выбрать лучшее уравнение регрессии.
F- критерий Фишера заключается в проверке гипотезы Но о статистической незначимости уравнения регрессии. Для этого выполняется сравнение фактического F факт и критического (табличного) F табл значений F- критерия Фишера.
Fтабл=4,41 – максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при степенях свободы k1 = m=1, k2 = n – m – 1=20-1-1=18 (для линейной регрессии m = 1 и уровне значимости α=0,05)
Определим Fфакт:
Для линейной регрессии.
Для степенной регрессии.
Для показательной регрессии.
Для гиперболической регрессии.
Вывод:
Из полученных показателей все превышают табличного значения F-критерия Фишера, значит вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня. Таким образом все уравнения регрессии являются статически значимыми, т. е. имеет место надежности уравнений регрессий.
5. Рассчитайте ожидаемое значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня.
Для линейной регрессии.
Для степенной регрессии.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|