Случайные величины и их характеристики

Напомним, что случайной называют величину, которая в ре- зультате опыта может принять то или иное значение, заранее не- известное. Она может быть как дискретной, так и непрерывной. Случайная величина полностью определена с вероятностной точ- ки зрения, если известно, с какой вероятностью возможно появ- ление каждого из принимаемых случайной величиной значений. Такое соответствие называют за-

коном распределения случайной величины. В случае непрерывной величины этот закон соответству- ет интегральной функции распре-

деления

F (x) = P (x < X)

или ин-

тегральному закону распределе- ния (рис. 1.1).

Рис. 1.1

При решении прикладных вероятностных задач часто бы- вает необходимо определить вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в некотором ограни- ченном интервале, например в интервале (a, b). Условимся для определенности левый конец a включать в интервал, а правый не включать. Тогда вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a, b)

P (a £ X < b) = F (b) - F (a).

Плотностью распределения непрерывной случайной вели- чины называют функцию

x

f (x) = F ¢(x) при F (x) = ò

-¥

f (y) dy.

(1.1)

Устремив верхний предел к бесконечности, получим:

¥

F (x) = ò

-¥

f (y) dy = 1.

Вероятность того, что случайная величина Х находится в интервале (x 1, x 2),

x 2

P (x 1 £ X £ x 2) = ò f (y) dy.

x 1

(1.2)

Рассмотрим известный нормальный закон изменения плот- ности вероятности (закон Гаусса). Таким законом часто описы- ваются результаты измерений каких-либо величин, механиче- ские характеристики материалов, нагрузки на машины и детали машин, сроки службы деталей и т.д. Главная особенность, выде- ляющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся типич- ных условиях. Можно доказать, что сумма достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин,

PNRPU

подчиненных каким угодно законам распределения, прибли- женно подчиняется нормальному закону, если дисперсия слу- чайных величин примерно одного порядка.

Интегральная функция распределения при нормальном законе распределения определена на всей оси и имеет следующий вид:

F (x) = e

x -¥

-(x - mx)² 2s²

где m_x – математическое ожидание; σ _х – среднее квадратичное отклонение случайной величины.

(x - m)2

тогда

2 x x x xx

1 - 1

где t = x - mx.

s x

F (t) =

òe 2 dt 1,

-¥

Эта функция табулирована (прил. 4), а вероятность попада-

ния случайной величины в интервал определена следующим образом:

(х 1 £ Х £ х 2)

может быть

P (x £ X £ x) =

1 t 2

e- t 2 /2 dt,

где t 1

= x 1 - mx;

s x

1 2

s x

2p ò

Нетрудно показать, что вероятность попадания случайной величины Х на отрезок (mx, mx + 3s x) приблизительно равна 0,5. Это означает, что для нормального распределения случайной величины все рассеяние практически укладывается на учас- ток (mx ± 3s x). Полученный результат позволяет по известным

Рис. 1.2

значениям математического ожидания и среднего квадра- тичного отклонения случай- ной величины приближенно указать интервал ее возмож- ных значений (правило трех сигм) (рис. 1.2).

Функция распределения случайной величины и ее плотность вероятности являются различными формами выражения закона распределения случайной величины. Наиболее часто применяе- мые на практике законы распределения приведены в прил. 1.

Однако приведенная выше исчерпывающая характеристика не всегда может быть получена либо из-за ограниченности экс- периментальных результатов, либо из-за сложности проведения экспериментов, либо из-за большой их стоимости.

В этих случаях вместо законов распределения используют приближенное описание случайной величины, полученное с по- мощью минимального числа неслучайных характеристик, отра- жающих наиболее распространенные особенности распределе- ний, например среднее значение, относительно которого груп- пируются возможные значения случайной величины, или число, характеризующее степень разброса случайной величины около ее среднего значения.

Простейшей числовой характеристикой случайной величи- ны является ее математическое ожидание. Для непрерывной случайной величины Х математическое ожидание

¥

M [ X ] º mx = ò xf (x) dx.

-¥

(1.3)

Геометрический смысл математического ожидания – центр тяжести площади, ограниченной кривой плотности распределе- ния и осью абсцисс.

Для характеристики разброса значений случайной величи- ны в данной серии опытов можно взять среднее значение какой-

нибудь положительной меры отклонения случайной величины от ее среднего значения, например квадрат разности между зна- чениями случайной величины и ее средним значением. В ре- зультате получим величину, которая называется дисперсией.

Для непрерывной случайной величины дисперсия

¥

-¥

(1.4)

где

X – центрированная случайная величина,

X = X - mx.

При практических расчетах удобно использовать величину

s x =, которая называется средним квадратичным отклонени- ем. Геометрический смысл этой величины – центральный момент площади, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс.

Вероятность отклонения случайной величины от ее средне- го значения на некоторую величину a можно оценить, восполь- зовавшись формулой П. Чебышева:

P (X - mx

³ a £ Dx.

(1.5)

Математическое ожидание и дисперсия имеют следующие свойства:

¥ ¥

1. M [ c ] = ò cf (x) dx = c ò

-¥ -¥

¥

f (x) dx = c;

2. M [ cX ] = ò cxf (x) dx = cmx;

-¥

3. Dc

= D [ c ] =

¥

ò(c - c)2 f (x) dx = 0;

-¥

(1.6)

éæ 0 ö2ù ¥

4. Dcx

= M êç c X ÷

êè ø

ú= c 2

ú

ò(x - m)2 f (x) dx = c 2 D,

где с – константа; Х – случайная величина.

Пример 1.1. Балка (рис. 1.3), имеющая постоянную изгиб- ную жесткость EI, нагружена случайной поперечной силой q

с известными значениями математического ожидания mq

персии D_q.

и дис-

Определить математические ожидания и дисперсии макси- мального прогиба и прогиба в точке приложения силы, а также максимального нормального напряжения.

Решение. Найдем прогибы и нормальные напряжения со- гласно известным соотношениям из сопротивления материалов.

Для консоли длиной l с сосредоточенным грузом q в поперечном сечении, отстоящем на расстоянии с от опоры, эпюра изги- бающих моментов показа- на на рис. 1.3. Прогиб для какого-либо сечения опре-

Рис. 1.3 деляется по уравнению

1 é x 2

qx 2 2 x ù q æ lx 2

x 3 ö

y 1 (x) = EI ê q (l - x) 2 +

2 3 ú= EI ç2

- 6 ÷.

ë û è ø

Для сечения слева от точки приложения нагрузки (точки С) вместо l используем с. Для какого-либо сечения справа от груза изгибающий момент и кривизна равны нулю; следовательно, эта часть балки остается прямой. Угол наклона является постоян-

qc 2

ным и равным углу наклона в точке С, т.е. от точки приложения нагрузки

2 EI

. Прогиб справа

1 qc 2æ 1 ö

y 2 (x) = EI

ç x - c ÷.

Действительно, если на втором участке угол наклона по- стоянен, то

dy qc 2

2 = Þ y 2 (x) =

qc 2

x + A,

dx 2 EI 2 EI

где постоянную А определяем из условия стыковки перемеще- ний в точке С:

q æ c 3

c 3 ö

qc 3

qc 3

qc 3

Тогда:

m

c 3 m

= q; m

c 2 m

1 c ö;

y 1 (c)

3 EI

y 2 (l)

2 EI ç 3 ÷

è ø

æ c 3 ö2

æ c 2 æ

1 öö2

Dy (c) =ç3 EI ÷ Dq; Dy (l) =ç2 EI ç l -3 c ÷÷

Dq.

1 è ø 2 è

è øø

Максимальное напряжение будет в защемлении балки, по- этому:

æ c ö2

smax = W

= W Þ m smax = Wmq Þ D smax = ç W ÷

Dq,

где М – изгибающий момент; W – момент сопротивления сече- ния относительно главных осей.

Системы случайных величин

Первоначально рассмотрим наиболее простой случай – сис- тему двух случайных величин Х, Y. Совместной функцией рас- пределения двух случайных величин Х и Y называют вероятность совместного выполнения двух неравенств Х < x и Y < y, т.е.:

F (x, y) = P (X < x, Y < y).

(1.7)

Двумерную плотность вероятности можно ввести по анало- гии с одномерной, а именно:

¶2 F (x, y) x y

f (x, y) = ¶ x ¶ y

при F (x, y) = òò

-¥ -¥

f (a,b) d a d b.

(1.8)

Случайные величины Х и Y называются зависимыми, если события, заключающиеся в выполнении неравенств X < x и Y < y, зависимы друг от друга хотя бы при одной паре значе- ний х и у. В этом случае плотности совместного распределения вероятностей системы двух случайных величин выражаются через одномерные и условные плотности следующим образом:

f (x, y) = f 1 (x) f 2 (y x) = f 2 (y) f 1 (x y).

(1.9)

Случайные величины Х и Y называются независимыми, ес- ли события, заключающиеся в выполнении неравенств X < x и Y < y, независимы при любых значениях х и у. Для независи- мых случайных величин Х, Y совместная функция распределе- ния (на основании правила умножения вероятностей независи- мых событий)

F (x, y) = P (X < x) P (Y < y) или F (x, y) = F 1 (x) F 2 (y),

а совместная плотность распределения

f (x, y) = f 1 (x) f 2 (y).

(1.10)

Пусть теперь одна случайная величина Y функционально связана с другой случайной величиной Х, т.е.

Y = j(X).

(1.11)

Относительно аргумента полагаем, что известна плотность

распределения

fx (x)

или его интегральная функция распреде-

ления. Тогда плотность распределения [9]

f y (y) = fx [y(y)]×y¢(y),

где y(y) = j-1 (y) = x.

(1.12)

Например, решая задачу определения напряженно-дефор- мированного состояния конструкции в линейной постановке, мы имеем линейную зависимость между параметрами состояния (напряжениями или перемещениями) и нагрузкой. Тогда, зная вероятностные характеристики нагрузки, можно найти вероят- ностные характеристики параметров состояния.

Пример 1.2. Параметр состояния u связан с параметром на- грузки q линейно:

u = K · q. (1.13)

Считая известной плотность распределения нагрузки, опре- делить плотность распределения параметра состояния.

Решение. Решая уравнение (1.13) относительно q, получим:

q = u;

K

dq = 1. Если плотность распределения нагрузки

du K

fq (q),

то согласно соотношению (1.12)

f (u) = 1 f

u K

æ u ö.

Если распределение нагрузки можно описать, например, однопараметрическим распределением Рэлея (а – параметр рас- пределения):

q æ q 2ö

fq (q) = a 2 expç- 2 a 2 ÷,

q è q ø

то распределение параметра состояния в случае линейной связи с параметром нагрузки примет вид:

u æ u 2 ö1

f u (u) = Ka 2 expç- K 2 2 a 2 ÷ K,

q è q ø

т.е. получим опять распределение Рэлея:

u æ u 2ö

f u (u) = a 2 expç- 2 a 2 ÷,

(1.14)

где au = Kaq.

u è u ø

Аналогично получаются выражения при описании других плотностей распределения при линейной связи случайных величин.

Рассмотрим теперь функцию

z = j(x, y)

двух случайных

аргументов х и у. Тогда интегральная функция распределения

F (z) = òò f (x, y) dxdy,

D

(1.15)

где f (x, y) – плотность совместного распределения вероятностей

системы случайных величин х и у; D – область плоскости (х, у).

Рассмотрим частный случай: ласть реализации, получим:

z = x - у;

тогда, учитывая об-

¥ é z + y ù ¥ é x - z ù

F (z) = òêò f (x, y) dx ú dy = òêò f (x, y) dy ú dx.

-¥êë -¥ ûú -¥ë-¥ û

Плотность распределения вероятности величины z

¥ é d

z + y

ù ¥é d

x - z ù

f (z) = F ¢(z) = òê dz ò

f (x, y) dx ú dy = òê dz ò

f (x, y) dy ú dx,

или

-¥êë -¥

ûú -¥ë -¥ û

¥ ¥

f (z) = ò f (z + y, y) dy = ò f (x, x - z) dx.

(1.16)

-¥ -¥

Если величины х и у независимы, то

¥ ¥

f (z) = ò fx (z + y) f y (y) dy = ò

fx (x) f y (x - z) dx.

(1.17)

-¥ -¥

Пусть, например, случайные величины х и у можно описать нормальным законом распределения и они независимы, т.е.

1 æ (x - m)2ö

Тогда

f (y) =

ç

è

1 æ

è

2s2 ÷

÷.

1 ¥ æ

(z + y - m)2 ö

æ(y - m)2 ö

f (z) =

òexpç-

x ÷expç- ÷ dy.

2ps x s y -¥ è

2s x ø è 2s y ø

Преобразуя выражение под интегралом, получим:

f (z) = 1

òexp(- Ay 2 + 2 B (z) y - C (z)) dy,

s2 + s2

m z - m

m 2 (z - m)2

где A =

x y;

2s2s2

B (z) =

y -

2s2

x;

2s2

C (z) =

y +

2s2

x.

2s2

x y y x y x

Воспользовавшись табличными значениями для определен- ных интегралов и преобразуя полученное соотношение, получим:

1 æ (z - m)2ö

expç- z ÷,

(1.18)

где m = m - m; s =

ç 2s2 ÷

.

z x y z

Таким образом, если случайные величины x и y можно опи- сать нормальным законом распределения, то и случайная вели-

чина z = x - у также распределена по нормальному закону.

Рассмотрим пример расчета конструкции, случайные ха- рактеристики которой описываются разными законами распре- деления.

Рис. 1.4

Пример 1.3. Консольная балка длиной l (рис. 1.4) изгибается под действием сосредоточенной на- грузки q, которая является случай- ной и характеризуется нормальным законом распределения:

1 - q 2

f (q)= e 2 (-¥ < q < ¥).

Место приложения нагрузки также случайно и определяет- ся равномерным законом:

f (x) =ì1/ l, 0 £ x £ l;

Определить закон распределения изгибного момента в за- делке, если нагрузка и координата ее приложения независимы.

Решение. Изгибной момент в заделке M = qx, следователь- но, совместный закон распределения f (q, x) = f (q) f (x). Для опре- деления закона распределения момента нужно учесть его об- ласть реализации. Для этого запишем функцию распределения момента и учтем для определения области интегрирования, что q = M / x. Тогда

М М

l x l x 1 1

- q 2

F (М) = òò f (q, x) dqdx = òò

e 2 dqdx.

0 -¥ 0 0

Плотность вероятности момента

dF (М) 1 l 1 1

- М 2

f (М) = = ò

e 2 x 2 dx.

dМ l 0

Если сделать замену: M ₁ = M / x, то

dF = dF dМ 1 =1 dF.

dМ dМ 1 dМ x dМ 1

С учетом этого при интегрировании по верхнему пределу получим:

d x

-¥

Для дальнейшего интегрирования снова сделаем замену:

t =;

2 x 2

Тогда

x =;

2 t

x =; dx =

2 ç-2 ÷ t t.

М 2

1 2 l 2 1

М М æ 1 ö dt

-¥

e- t ç- ÷ =

= - 1

2 l

М 2

2 l ²

ò

-¥

2 e- t

dt = -

2 l

1 I,

2p

где I – интегральная показательная функция (при t > 0). Полученная функция f (М) имеет вид, показан-

ный на рис. 1.5. Рис. 1.5

Таким образом, система случайных величин полностью оп- ределена, если известна совместная интегральная функция или совместная плотность распределения. Однако иногда, как уже отмечалось, бывает достаточно ограничиться их численными характеристиками.

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: