|
|
Преобразования. Связь между координатами образа и прообраза. ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3 Рассмотрим линейное пространство V, в котором каждому элементу x, в силу некоторого закона поставлен элемент этого же пространства. Каждому прообразу соответствует единственный образ. Каждый образ имеет единственный прообраз. Линейное преобразование пространства, при котором существует взаимнооднозначные соответствия. Блективное преобразование – 1. 2. Рассмотрим n-мерное линейное пространство Для того, чтобы задать линейные преобразования в этом пространстве достаточно задать это преобразование для базисных векторов. Матрица линейного преобразования. Пусть F – линейное преобразование линейного пространства, переводящая базис в базис - базис, то верны соотношения А – является матрицей линейного преобразования или линейным оператором пространства. Связь между координатами образа и прообраза. В базисе Линейное преобразование – матрица линейного оператора. Каждому линейному преобразованию соответствует 1 матрица линейного оператора и наоборот. Если имеется квадратная матрица 17. Связь между координатами одного и того же линейного оператора в Разных базисах. Т – матрица перехода от e к e’, то: Если линейный оператор имеет в базисе невырожденную матрицу Т, матрица этого оператора в любом другом базисе не будет вырождена. 18. Характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные Векторы линейного оператора и их свойства. Если в базисе ) оператор имеет матрицу В λ – произвольное число ≠0 Е – единичная матрица характеристически многочлен линейного оператора прировнять к 0, получим характеристическое уравнение линейного оператора. Собственные векторы линейного оператора Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора, если оператор к этот же умноженный на некоторое к. к – собственное число оператора А= Каждый собственный вектор имеет единственное собственное число. 19. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми. Векторное уравнение прямой. Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору. Пусть прямая L задана ее точкой M0(x0;y0;z 0) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой L точку M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек M и M0 через r и r0. Тогда уравнение прямой запишется в виде: где t – скалярный множитель (параметр). Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M0(x0;y0 ;z0) – точка на прямой. соединяет M0 с произвольной точкой М. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки. M1(x1;y1;z1) M2(x2;y2;z2) В качестве направляющего вектора можно задать вектор Следовательно: Общее уравнение прямой. Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим: Т.к. прямая перпендикулярна векторам n1 и n2 то направляющий вектор запишется как векторное произведение: Угол между прямыми. 20. Плоскость в пространстве. Виды уравнения плоскостей. Угол между плоскостями. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору. Пусть плоскость задана точкой M0(x0;y0;z0 ) и вектором перпендикулярной этой плоскости. Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор . При любом расположении точки М на плоскости Q , поэтому Общее уравнение плоскости. · Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0) · Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox. · Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0. · Если А=В=0 то уравнение примет вид · Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид Уравнение плоскости, проходящей через три точки К (х1;у1) М (х2;у2) N (x3;y3) Возьмем на плоскости точку P (x;y;z). Составим векторы: Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны: Уравнение плоскости в отрезках. Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки: Нормальное уравнение плоскости. 21. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Прямая L: Пусть φ – угол между плоскостью и прямой. Тогда θ – угол между Найдем Расстояние от точки до плоскости. Дано: M0 (x0;y0;z0) Расстояние d от точки М0 до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора 1(x1;y1;z1) - произвольная точка плоскости) на направление нормального вектора !!!Если плоскость задана уравнением: то расстояние до плоскости находится по формуле: 22. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между Двумя прямыми. Уравнение с угловым коэффициентом. k= tg α – угловой коэффициент. Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох. Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет вид параллельно оси оу. Общее уравнение прямой. A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно. · Если В=0, то уравнение имеет вид или прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку · Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффициентом · Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0). Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении. т М (х0;у0). Уравнение прямой записывается в виде Подставим в это уравнение точку М Решим систему: Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. К (х1;у1) М (х2;у2) Уравнение прямой в отрезках. К (а;0); М (0;b) Подставим точки в уравнение прямой: Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору. М0 (х0;у0). Возьмем произвольную точку М (х;у). Т.к. Нормальное уравнение прямой. Уравнение прямой можно записать в виде: Т.к. Угол между прямыми. Дано: прямые L1 и L2 с угловыми коэффициентами Требуется найти угол между прямыми: 23. Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения.
геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до до фокусов есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса. Т.к. MF1 + MF2 = 2a Т.к. То получаем Или 24. Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная. Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF1 – MF2|=2a или MF1 – MF2 =±2a, 25. Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения. Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы и обозначается через р>0.
точка M с F. Проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению MF=MN. 26. Поверхности вращения. Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнение этой кривой запишутся в виде:
Возьмем на поверхности точку M (x;y;z). Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси oz, и обозначим точки пересечения ее с осью oz и кривой L соответственно O1 и N. Обозначим координаты точки N (0;y1;z1). Отрезки O1M и O1N являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому O1M = O1 N. Но O1M = (x2+y2)0.5, O1 N=|y1|. Следовательно, |y1|=(x2+y2)0.5 или y1=±(x2+y2)0.5. Кроме того, очевидно, z1=z. Следовательно искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точка М этой поверхности и не удовлетворяет координаты точек, не лежащих на поверхности вращения. 27. Поверхности 2-го порядка. Эллипсоид, Гиперболоид. Эллипсоид. Рассмотрим сечение поверхности с плоскостями, параллельными xOy. Уравнения таких плоскостей z=h, где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями: Если |h|>c, c>0, то Если |h|=c, т.е. h=±c, то . Линия пересечения вырождается в две точки (0;0;с) и (0;0;-с). Плоскости z=c и z=–c касаются поверхности. Если |h|<c, то уравнения можно переписать в виде: Линия пересечения есть эллипс с полуосями. Эллипсоид – замкнутая овальная поверхность, где a,b,с – полуоси. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным. Если какие-либо две полуоси равны, то тело называется эллипсоид вращения, если a=b=c, то тело называется сферой x2+y2+z2=R2 Однополостный гиперболоид. Пересекая поверхность плоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеют вид. Полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0, a1=a, b1 =b. При возрастании |h| полуоси будут увеличиваться. Если пересекать поверхность плоскостями x=h или y=h, то в сечении получим гиперболы. Найдем линию пересечения поверхности с плоскостью Oyx, уравнение которой x=0. Эта линия пересечения описывается уравнениями: Поверхность имеет форму бесконечно расширяющейся трубки и называется однополостным гиперболоидом. Двуполостный гиперболоид. Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия пересечение уравнениями Если |h|<c, то плоскости z=h не пересекаются. Если |h|=c, то плоскости h=±c касаются данной поверхности соответственно в точках (0;0;с) и (0;0;-с). Если |h|>c, то уравнения можно переписать в виде: Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|. У обеих гипербол действительной осью является ось oz. Метод сечения позволяет изобразить поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму двух неограниченных чаш. Поверхность называется двуполостным гиперболоидом. 28. Поверхности 2-го порядка. Параболоиды. Эллиптический. При пересечении поверхности координатами плоскостями Oxz и Oyz получается соответственно параболы и поверхность, определяемая уравнением, имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши. Гиперболический. Рассечем поверхность плоскостями z=h. Получим кривую которая при всех h≠0 является гиперболой. При h>0 ее действительные оси параллельны оси Ox, при h<0 – параллельные оси Oy. При h=0 линия пересечения распадается на пару пересекающихся прямых: При пересечении поверхности плоскостями, параллельности плоскости Oxz (y=h), будут получаться параболы, ветви которых направлены вверх. 29. Поверхности 2-го порядка. Конусы и цилиндры. Конус. Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L (не проходящую через Р) называется конической поверхностью или конусом. При этом линия L называется направляющей конуса, точка Р – ее вершиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей. Цилиндр. Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую К, называется цилиндром. При этом кривая К называется направляющей цилиндра, а прямая L – образующая. 30. Исследование кривой второго порядка по ее уравнению без Произведения координат. Уравнение вида Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 всегда определяет либо окружность (при А=С), либо эллипс (при А*С>0), либо гиперболу (при А*С<0), либо параболу (при А*С=0), при этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы – в пару пересекающихся прямых, для параболы – в пару параллельных прямых. Общее уравнение второй степени с двумя неизвестными: Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 Коэффициент В с произведением координат преобразовывает уравнение путем поворота координатных осей. 31. Определение предела числовой функции. Односторонние пределы. Свойства пределов. Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n?N (xn ≠x0), сходящейся к х0 (т.е. последовательность соответствующих значений функции f(xn), n?N, сходится к числу А, т.е. . Геометрический смысл предела этой функции, что для всех точек х, достаточно близких к точке х0, соответствующие значения функции как угодно мало отличается от числа А. Односторонние пределы. Считается, что х стремится к х0 любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от х0), большим, чем х0 (справа от х0), или колеблясь около точки х0. Число А1 называется пределом функции y=f(x) слева в точке х0, если для любого ε<0 существует число σ=σ(ε)>0 такое, что при х?(x0-σ;x0 ), выполняется неравенство |f(x)-A1|<ε Пределом функции справа называется Свойства пределов. 1) если предел ε – сколь угодно малое число |f(x)-a|=α; f(x)=a+ α 2) сумма конечного числа б.м. чисел есть б.м. число 3) предел произведения равен произведению пределов 4) константы можно выносить за знак предела 5)
1 замечательный предел. Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла MOB через Х. Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда Разделим все на Т.к. 2 замечательный предел. Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами: Если x→∞, то n→∞, тогда По признаку о существовании пределов: 33. Непрерывные функции и их свойства. Точка разрыва функций и их классификация. Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке: Это означает: - функция определена в точке х0 и в ее окрестности; - функция имеет предел при х→х0 - предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство. Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х0 Точки разрыва функции – это точки в которых нарушается непрерывность функции. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы) При этом, если: - А1=А2 то точка х0 называется точкой устранимого разрыва; - А1≠А2 то точка х0 называется точкой конечного разрыва. |A1 – A2| называется скачком функции. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, либо равен бесконечности. 34. Производная от функции. Дифференцируемость функции. Дифференциал. Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда аргумент стремится к нулю. Производная функции f(x) есть некоторая функция f ’(x), произведенная из данной функции. Функция y=f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b) называется дифференцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Дифференциал функции y=f(x) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)). Иначе. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной. 35. Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функции.   ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
- прообраз
- образ
называется линейным, если выполняются 2 условия.
. Т.к. 
вектор 
имеет координаты
задано линейное преобразование пространства.
Если
, получим
, тогда 
; 
,
.
плоскость параллельна плоскости Oxy.
. Это уравнение плоскости Oxy.
; 
; 
и 
.
, если 
, т.к. 
(где М
и пройдет
. Это уравнение
.· Если А=0, то уравнение имеет вид 
. Это уравнение прямой, параллельной оси ох.
.
; 
, то:
Эллипсом называется
Пусть M(x;y) – произвольная
Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси Oz.
–
точек пересечения поверхности с плоскостями z=h нет.
. Таким образом,
- уравнение конуса
- уравнение цилиндра
),
функция равна этому числу плюс б.м.
32. Замечательные пределы.
и получим:
, то по признаку существования пределов следует 
.
и 
