|
Модификация портфеля ценных бумаг (задача Тобина)Оказалось, что решение задачи резко упрощается и приобретает новые особенности, если учесть простой факт: кроме рисковых бумаг на рынке имелись и безрисковые типа государственных обязательств с фиксированным доходом. Итак, как должен инвестор скомбинировать рисковую и безрисковые части портфеля, чтобы минимизировать дисперсию портфеля при выбранной или средней эффективности портфеля ? В строгой постановке получаем следующую задачу квадратичного программирования:
Здесь , – соответственно эффективность и доля безрисковой части портфеля, при этом естественно предполагается, что > m. Пусть – эффективность безрискового вклада, – ожидаемая эффективность портфеля рисковых ЦБ (). Известна вариация эффективности этого портфеля; – доля капитала, которую нужно вложить в безрисковые ЦБ. Тогда – эффективность комбинированного вклада. Ниже представлены характеристики этого вклада: ; ; ; .
Рис.5.1
Если весь капитал инвестора составляют безрисковые ЦБ , то , а риск равен 0. Если весь наличный капитал внесён в рисковые ЦБ, то . Любому промежуточному риску соответствует одна из точек на отрезке прямой. Если возможно брать безрисковые ЦБ в долг , то достижимая и любая эффективность, сопровождается соответственно растущим риском. Эта задача без риска ограничена на не отрицательность элементов структуры называется задачей Тобина. Решается она аналогично задаче Марковица методом множителей Лагранжа и её решение имеет вид
Дисперсия портфеля оптимальной структуры определяется формулой или
В случае некоррелированности эффективностей матрица ковариации V диагональная, обратная ей матрица также диагональная. Поэтому формулы для элементов структуры оптимального портфеля и для дисперсии эффективности его имеют вид:
Как видно из этих формул, безрисковая часть будет входить в портфель, т.е. , если
При в портфеле будет при проявлении только рисковая часть (). При в портфеле будет присутствовать только безрисковая часть, т.е. . Интересен вывод, сделанный Тобиным: Если есть возможность выбирать не только между заданным рисковым портфелем и безрисковой ЦБ, но и выбирать структуру рискового портфеля, то оптимальной окажется только одна структура, не зависимая от склонности инвестора к риску. Приведём диаграмму, являющуюся следствием формальных результатов.
Рис.5.2
Пусть сначала сделан наилучший выбор только среди всех рисковых ЦБ. В зависимости от склонности к риску инвестор выберет одну из точек на кривой R. После этого возникает возможность вклада в рисковые, и в безрисковые ЦБ. Проведя касательную к кривой R из точки , , найдём точку с координатами , дающую характеристики оптимального рискового портфеля. Превышение средней эффективности ценной бумаги над эффективностью безрискового вклада называется премией за риск: .
Задача 5.1. Доказать следующий факт: премия за риск конкретной ценной бумаги, включённой в портфель, пропорциональна премии за риск портфеля в целом: где – бетта-вклады ценной бумаги в оптимальный портфель, т.е отношение ковариации эффективности ценной бумаги и портфеля к вариации портфеля. ;
Доказательство: Поэтому . Последнее выражение позволяет найти вектор . В самом деле или ; Чем больше бетта данной ЦБ, тем выше доля общего риска, связанная с вложением именно в эту ценную бумагу. Вмести с тем, чем больше бетта, тем выше и премия за риск. Если в такой портфель вложить лишь часть имеющихся средств, а остальные оставить в безрисковом вкладе, то можно получить портфель с еще меньшим риском, но зато проиграть в эффективности.
5.5. Задачи для самостоятельной работы 1. Запишем вариацию доходности портфеля – в форме и назовем величину портфельной ковариацией доходности i -й ценной бумаги. Доказать, что в оптимальном портфеле эти ковариации пропорциональны превышению эффективности ценных бумаг над безрисковыми вложениями (подразумевается, что последние на рынке имеются). 2. С помощью компьютера найден оптимальный портфель Марковича для трех ценных бумаг с эффективностями и рисками: (4,10); (10,40); (40,80); нижняя граница доходности задана равной 15. Доли бумаг оказались равными 46, 28 и 26 %, минимальный риск – 25,4, доходность оказалась равной заданной – 15. Проверить компьютерные расчеты. 3. С помощью компьютера найден оптимальный портфель максимальной эффективности для трех ценных бумаг с доходностью и риском: (4, 10); (10,40); (40, 80) (те же ценные бумаги, что и в примере 1); верхняя граница риска задана равной 50. Доли бумаг оказались равными 6, 34 и 60 %. Проверить компьютерные расчеты. 4. Из двух некоррелированных ценных бумаг с эффективностями m1 = 2 и m2 = 6 и рисками r1 = 10 и r2 = 20 с помощью компьютера составлено шесть портфелей: в портфеле с номером k доля первых бумаг х = 1–0,2 k, доля вторых равна (1–х), т.е. портфель, состоящий только из бумаг 1-го вида, получает номер 0, а портфель, состоящий только из бумаг 2-го вида получает номер 5. Компьютер нашел их эффективности и риски.
Проверьте компьютерные расчеты. Затем нанесите портфели как точки на плоскость риск – эффективность и отметьте доминируемые портфели и недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето. 5. Имея безрисковые ценные бумаги с эффективностью m0 = 4 и некоррелированные рисковые с эффективностями m1 = 8 и m2 = 14 и рисками r1 = 10 и r2 = 30, с помощью компьютера составили портфель Тобина эффективности 12. Доли бумаг получились такими: х0 = –0,51, х1 = 1,18, х2 = 0,33. Проверьте компьютерные расчеты. Как понимать отрицательную долю безрисковых бумаг? 6. В портфеле бумаги с доходностью d1 = 5 % годовых составляют x1 = 30 % по стоимости, а остальные бумаги имеют доходность d2 = 8 % годовых. Какова доходность портфеля? 7. Сформировать портфель Тобина минимального риска из двух видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью m0 = 2 и рисковых с эффективностью m1 = 10 и риском r1 = 5. Найти зависимость эффективности портфеля от его риска. 8. Сформировать портфель Тобина максимальной эффективности и риска не более заданного из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью m0 = 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности m1 = 4 и m2 = 10 и рисками r1 = 2 и r2 = 4. Каковы соотношения доли бумаг в рисковой части оптимального портфеля? 9. Убедитесь самостоятельно в справедливости следующих неравенств:
10. Поставить обе задачи сформировать портфели Тобина: минимального риска при заданной эффективности и максимальной эффективности при заданном риске из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью m0 = 2 и рисковых с ожидаемой эффективностью m1 = 6 и m2 = 8 и рисками r1 = 4 и r2 = 9 и взаимной корреляцией k = 9.
Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|