|
|
Линейная алгебра и аналитическая геометрияСтр 1 из 5Следующая ⇒ ВВЕДЕНИЕ «Значением математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Все это расширяет сферу ее приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области деятельности людей, где математика не играла бы существенной роли. Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в обществоведении». В этих словах академика А.Д. Александрова ярко выражена мысль о значимости математики, о ее проникновении в другие науки. Темпы развития промышленного производства и сельского хозяйства предъявляют ряд требований к выпускнику вуза, среди которых наличие базы фундаментальных знаний и умений, обеспечивающих более сложное, чем прежде, содержание труда и расширение функций специалиста. Исследование ряда процессов в промышленной технологии связано с разработкой соответствующих математических моделей, для успешного исследования которых будущий специалист должен получить достаточно серьёзную математическую подготовку. Цели дисциплины «Математика»: привить студентам навыки математического мышления, воспитать в них математическую культуру, достаточную для использования математических методов и средств в дальнейшей практической деятельности. Дисциплина «Математика» обеспечивает выполнение следующих образовательных задач: - знакомство с разделами математики, необходимыми для анализа и моделирования профессиональных задач; - овладение прикладными расчетными приемами при вычислениях; - выбор и простейшая обработка объема информации при решений математических задач; - изучение основных разделов высшей математики для формирования навыков применения математических методов в рамках своей профессиональной деятельности. - умение пользоваться справочной и специальной литературой, раскрывающей конкретную проблему. Настоящее пособие соответствует государственному образовательному стандарту (ФГОС ВПО в редакции от 22.12.2009 г.), программе дисциплины "Математика" для студентов специальности 221700 «Стандартизация и метрология» и представляет справочное изложение теоретического материала, проиллюстрированное многочисленными примерами, в том числе и прикладной направленности. Изложение материала ведется на доступном, но достаточно строгом, языке. В конце каждого параграфа предложены задания для самопроверки и контрольные задания. Дополнительны теоретические сведения для более глубокого изучения учебного материала можно найти в литературе, приведенной в списке.
РАЗДЕЛ 1. СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНЫХ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ И РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1.1. Содержание основных разделов дисциплины и требования к уровню подготовленности студентов. Введение. Предмет математики. Краткая историческая справка о развитии математики. Цель и задачи преподавания курса. Связь математики с другими дисциплинами и ее место в общей структуре подготовки будущего специалиста. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Матрица и определитель. Виды матриц, действия над матрицами. Элементарные преобразования матриц. Системы линейных уравнений, их виды. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Исследование систем однородных и неоднородных уравнений. Прямоугольная система координат; различные способы задания прямой на плоскости; взаимное расположение прямых на плоскости; кривые второго порядка. Основные понятия: матрица, виды матриц, определители второго и третьего порядков; система уравнений: однородная и неоднородная, совместная и несовместная, определенная и неопределенная; нормальный и направляющий векторы прямой; эллипс, гипербола, парабола. Требования к уровню подготовленности при изучении раздела. Знать: правила вычисления определителей различных порядков; правила выполнения действий над матрицами и свойства действий; алгоритм нахождения обратной матрицы; основные методы решения систем линейных алгебраических уравнений; определения основных понятий (уравнения прямой: с угловым коэффициентом, каноническое, общее, уравнение прямой, проходящей через две точки и уравнение прямой в отрезках); условия параллельности и перпендикулярности прямых; определения и канонические уравнения кривых второго порядка. Уметь: вычислять определители второго и третьего порядков; выполнять сложение матриц, умножение матрицы на число, умножать матрицы, вычислять матрицу, обратную данной; применять метод Гаусса и формулы Крамера для решения систем линейных алгебраических уравнений; строить прямую по заданному уравнению исоставлять уравнения прямых по заданным условиям; находить угол между прямыми; строить кривые второго порядка по их уравнениям и составлять уравнения по заданным условиям; находить числовые характеристики кривых второго порядка (полуоси, фокусы, эксцентриситет); решать геометрические задачи, связанные с прямой и кривыми второго порядка. Математический анализ. Функции и пределы. Определение функции, способы задания функции, графики основных элементарных функций. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные теоремы о пределах, их применение, I и II замечательные пределы. Односторонние пределы. Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва. Исследование непрерывности функции. Понятие производной, ее механический, геометрический и биологический смысл. Определение производной, правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производные высших порядков. Дифференциал, его применение к приближенным вычислениям значений функций. Исследование функций с помощью производных: 1) монотонность и экстремумы; 2) выпуклость и точки перегиба; 3) асимптоты; построение графиков функций: Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида Основные понятия: область определения и область значений функции; Требования к уровню подготовленности при изучении раздела. Знать: определения основных понятий, основные теоремы о свойствах бесконечно малых и бесконечно больших; основные теоремы о свойствах функций, имеющих предел; первый и второй замечательные пределы, таблицу эквивалентности; основные теоремы о свойствах функций, непрерывных в точке и на множестве; определения основных понятий; таблицу производных основных элементарных функций; правила вычисления производных и дифференциалов любых порядков; определения основных понятий; свойства определенных и неопределенных интегралов; интегралы от основных элементарных функций; необходимое условие интегрируемости функции; формулу Ньютона-Лейбница; геометрический, физический и биологический смысл определенного интеграла Уметь: раскрывать неопределенности Интегральное исчисление функций одной переменной. Первообразная, неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Табличное интегрирование, замена переменной и интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций, простейших иррациональных и трансцендентных функций. Определенный интеграл, его геометрическое толкование, основные свойства, формула Ньютона - Лейбница. Приложения: вычисление площади фигуры, длины дуги. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и интегралы от неограниченных функций. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Множества в Числовые и функциональные ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Признаки сходимости знакоположительных рядов. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимости ряда. Функциональные ряды. Область сходимости. Ряды Фурье. Список рекомендуемой литературы 1. Основная литература 1. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2001. 2. Задачи и упражнения по математическому анализу для вузов: учеб. пособие для вузов (Под ред. Б.П. Демидовича). М.: Астрель, 2002. 3. Сечкина И.В., Приходько М.А. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: учеб. пособие. Омск: Изд-во ОмГПУ, 2007. 2. Дополнительная литература 1. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике: тридцать шесть лекций. Ч. 1. М.: Рольф, 2001. 2. Письменный. Д. Конспект лекций по высшей математике: тридцать шесть лекций. Ч. 2. М.: Рольф, 2001. 3. Толбаева З.Х., Приходько М.А. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных: учеб. пособие для вузов. Омск: Изд-во ИВМ ОмГАУ, 2004. Раздел 1. Линейная алгебра. Примеры 1. Найти определитель матрицы 2А, если Решение. Определитель найдем по правилу треугольников.
2. Дана матрица В = Решение. Найдем матрицу По правилу треугольников вычислим определитель матрицы В.
Обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы В.
Составим В * по формуле:
Проверим правильность составленной обратной матрицы Умножим
3.Найти Решение. Найдем сумму произведений соответствующих элементов строк матрицы А и столбцов матрицы В.
Отнимем элементы, стоящие на одинаковых местах.
Поменяем местами строки и столбцы полученной матрицы
Ответ. 4. Завод производит швейные машины. Каждая машина может находиться в одном из двух состояний: 1) работает хорошо; 2) требует регулировки. В момент изготовления р % машин работают хорошо, (1- р)% требуют регулировки. Статистические исследования показали, что из тех машин, которые сегодня работают хорошо, через месяц 70% будут работать хорошо, а 30% потребуют регулировки. Среди тех машин, которые сегодня требуют регулировки, через месяц 60% будут работать хорошо, 40% потребуют регулировки. Каковы доли машин, которые будут работать хорошо или потребуют регулировки через месяц после их изготовления? р= 80% Решение. р= 80%; 0,8 – доля машин, которые работают хорошо в момент изготовления; 1-0,8 =0,2 – доля машин, которые требуют регулировки в момент изготовления; Имеем: Из тех машин, которые сегодня работают хорошо, через месяц 0,7(доля) будут работать хорошо, а 0,3 (доля) потребуют регулировки. Из тех машин, которые сегодня требуют регулировки, через месяц 0,6 (доля) будут работать хорошо, 0,4 (доля) потребуют регулировки. Имеем:
0,68 – доля машин, которые будут работать хорошо через месяц; 0,32 – доля машин, которые потребуют регулировки через месяц.
Задания для самостоятельного решения №1. По заданной матрице №2. Вычислить определители. 1) №3. Вычислить определители матриц 1) №4. Придумать матрицу четвертого порядка, отличную от диагональной, убедиться, что det A ¹ 0. Найти А-1, проверить, что А-1. А = А . А-1 = Е. №5. Вычислить №6.Найти матрицу №7. Решить матричное уравнение. 1) 2)
№8. Предприятие производит n типов продукции, используя m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i-го вида на производство единицы продукции j-го типа задана матрицей затрат
Ответы. №2.1) -7; 2) -36; 3) -5; 4) 204; 5) 0; №3.1) -3; 2) -1. №5. №6. №7. 2) №8. Примеры 3. Решите систему линейных уравнений: 1) методом Крамера; 2) матричным методом.
Решение. 1) Составим определители
Вычислим определители по правилу треугольников.
Заменим первый столбец на столбец свободных членов:
Заменим второй столбец на столбец свободных членов:
Заменим третий столбец на столбец свободных членов:
По формулам Крамера:
(2; -1; -3) – решение системы. 2) Составим матричное уравнение:
Умножим матричное уравнение на
Т.к.
Вычислим А * - матрица, союзная матрице А.
Обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А.
Составим А* по формуле:
Проверим правильность составленной обратной матрицы Умножим
Т.е. (2; -1; -3) 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение. Составим расширенную матрицу системы:
Первую строку: умножим на -2 и сложим со второй; умножим на -1 и сложим с третьей строкой:
Сложим вторую строку с третьей (третью нулевую строку отбросим)
Перешли к системе содержащей 2 уравнения и 4 переменные. Выберем свободные переменные Составим уравнение по второй строке: Составим уравнение по первой строке: x1 +2( x1 = ( Задания для самостоятельного решения 1)Найдите все матрицы, перестановочные с матрицей
Задания для самопроверки 1. Дана матрица 1) 3; 2) -9; 3) 9; 4)2.
2. Матрица 1) 3; 2) 4; 3) -4; 4) 2.
3. Дана матрица 1) 1; 2) 7; 3) -2; 4) -7.
4. Если определитель квадратной матрицы А третьего порядка равен -2, то определитель обратной матрицы А-1 равен…
5. Укажите соответствие между определителем матрицы и результатом его вычисления.
1) 42; 2) 36; 3) -36; 4) 0; 5) 54.
6. Укажите систему линейных уравнений подготовленную для обратного хода метода Гаусса.
7. Установите соответствие между а)
8. Заданы матрицы
9. Дана система уравнений
10. Для матриц А и В найдено произведение АВ, причем 1) 2 строки; 2) 1 строку; 3) 3 строки; 4) 4 строки.
11. Членами определителя второго порядка
Ответы.
Контрольные задания Раздел 2. 2.2. Прямоугольная система координат. Различные способы задания прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Справочный материал § Расстояние
§ Если точка
§ Координаты середины отрезка: § Уравнения прямой на плоскости. Общее уравнение: Частные случаи: 1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox; 2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy; 3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат; 4) y = 0 - ось Ox; 5) x = 0 - ось Oy. Уравнение прямой в отрезках:
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку
§ Расстояние от точки с координатами
§ Взаимное расположение двух прямых ( Прямые пересекаются, если Прямые параллельны, если Прямые совпадают, если § Угол между прямыми:
Примеры 1. Даны точка А и прямая L на плоскости. Найти: 1) уравнение перпендикуляра к прямой L, проходящего через точку А, 2) проекцию точки А на прямую L, 3) расстояние от точки А до прямой L, 4) точку, симметричную точку А относительно прямой L. Решение.
1) АС – искомая прямая. АС ┴ L. По формуле уравнения прямой с угловым коэффициентом, проходящей через данную точку:
2) Проекция т. А на прямую L – основание перпендикуляра АС. С – точка пересечения прямых АС и L. Ее координаты найдем из условия:
Первое уравнение умножим на -4, второе - на 3 и сложим их:
Из первого уравнения: С(1; 2) - проекция т. А на прямую L. 3) Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, т.е. длина отрезка АС
4) В – точка, симметричная точке А относительно L. В лежит на прямой, перпендикулярной L, т.е. на прямой АС, причем С – середина АВ
В(-2; -2) - точка, симметричная точке А относительно L. 2. Даны три точки
Решение.
1)
2) уравнение прямой
3) Т.к. прямая (А3С) перпендикулярна Уравнение прямой
4) Т.к. прямая (А3L) параллельна 5)
y =- x +11 -
6) Найдем точки пересечения прямой С Ох: у =0;; С Оу: х =0;;
7) d - расстояние от т. А3 до прямой
Кривые второго порядка. Справочный материал
§ Кривыми второго порядка называют линии, уравнения которых являются уравнения второй степени с двумя переменными (уравнения вида § Канонические уравнения кривых второго порядка: 1) уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R:
уравнение окружности с центром в точке
2) уравнение эллипса с центром в начале координат и полуосями
уравнение эллипса с центром в точке
3) уравнение гиперболы с центром в начале координат и полуосями
уравнение гиперболы с центром в точке
4) уравнение параболы с центром в начале координат и осью симметрии Ох:
Примеры №2. Построить кривые второго порядка: а) Решение. Эта кривая – окружность, т.к. коэффициенты при Для построения окружности приведем данное уравнение к каноническо   Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
по правилу Лопиталя. Приложения производной. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла, таблица основных интегралов. Основные методы интегрирования (табличное интегрирование, замена переменной, по частям). Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Особые свойства определенного интеграла. Интегралы с бесконечными пределами, их сходимость. Приложения определенного интеграла в геометрии, физике и в естествознании.
- окрестность точки; предел функции в точке; бесконечно малая и бесконечно большая величина; эквивалентность бесконечно малых; математическая неопределенность; производная функции в точке и на промежутке, производные высших порядков; дифференциал функции в точке; точка экстремума и экстремум функции; точка перегиба; асимптота графика функции; первообразная функция и неопределенный интеграл, криволинейная трапеция; определенный интеграл; несобственный интеграл.
и другие, к ним сводящиеся; доказывать существование (отсутствие) предела функции в точке; исследовать непрерывность функции в точке; проводить классификацию точек разрыва; числять производную функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций; вычислять дифференциал функции; записывать уравнение касательной к графику функции в заданной точке; проводить исследование функции с целью построения графика;применять правило Лопиталя при вычислении пределов функций, использовать производную для решения прикладных задач; именять основные методы интегрирования для вычисления неопределенных (определенных) интегралов и исследования сходимости несобственных интегралов; вычислять площади плоских фигур и объемы тел вращения применять определенный интеграл для решения геометрических, физических, биологических задач.
: открытые, замкнутые, ограниченные. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные. Дифференцирование неявной функции. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Геометрический смысл полного дифференциала. Производная по направлению. Градиент. Экстремумы ФНП, необходимое и достаточное условия существования экстремума.
.
.
. Найти В 
, обратную для матрицы В по формуле: 
, где 
- определитель матрицы В, В * - матрица, союзная матрице В.
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
.
.
.
= 
.
=
(получили единичную матрицу, значит, обратная матрица 
, если 
, 
, 
.
= 
.
.
.
= 
.
.
.
.
вычислить 
, 
и обратную матрицу 
, если она существует.Выполнить проверку правильности вычисления обратной матрицы.
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
; 2) 
.
, где 
.
, обратную к матрице 
, если 
.
;
;
. Пусть за определенный отрезок времени предприятие выпустило количество продукции каждого типа, записанное матрицей 
. Определить S – матрицу полных затрат ресурсов каждого вида на производство всей продукции за данный период времени.
, 
.
.
- расширенная матрица системы.
; 
; 
.
; 
.
, где
.
слева: 
;
- единичная матрица, то
;
- решение матричного уравнения.
, где 
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
.
.
.
= 
.
=
=
= 
Поменяем местами 1 и 2 строки 
.
= 
.
. Тогда элемент 
матрицы В=А2 равен…
не имеет обратной при k равном …
, тогда сумма 
равна …
и значениями определителя 
Тогда решением матричного уравнения 
является…
Для того, чтобы найти значение переменной У при решении этой системы по формулам Крамера, достаточно вычислить только определители…
Тогда матрица В должна иметь…
являются следующие произведения (без учета знака произведения)…
между двумя точками 
плоскости:
делит отрезок АВ в соотношении l/m, то ее координаты:
, 
– нормальный вектор прямой.
, где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
:
: 
.
до прямой (заданной уравнением 
):
и 
):
.
– угловой коэффициент прямой L
– координаты т. А.
или 
–уравнение АС.
.
= 
. Найти: 1) длину отрезка 
; 2) уравнение прямой 
перпендикулярно прямой 
; 4) уравнение прямой, проходящей через точку 
; 5) угол между прямыми 
; 6) площадь треугольника, образованного осями координат и прямой 
.
.
:
; 
; 16(y -4)=-5(x +4)
.
: 
.
, то их угловые коэффициенты равны, т.е 
. Уравнение прямой А3L: 
; 
; 
.
- уравнение прямой 
;
(
)
- угловой коэффициент прямой 
; 
; 
(длина ОВ)
(длина ОА)
)
.
где 
– действительные числа).
.
координат и радиусом R:
:
, а – большая полуось, b – малая полуось
, а – действительная полуось, b – мнимая полуось
;
одинаковые (они равны 1).