|
|
Положительно определенные квадратичные формы
Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если все ее значения при вещественных значениях переменных, не равных одновременно нулю, положительны. Очевидно, что квадратичная форма Определение. Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если все ее значения отрицательны, за исключением ненулевого значения при ненулевых значениях переменных. Определение. Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) полуопределенной, если она не принимает отрицательных (положительных) значений. Квадратичные формы, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, называются неопределенными. При n =1 квадратичная форма
Теорема (критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы). Для того, чтобы квадратичная форма
была положительно определена, необходимо и достаточно выполнение условий:
Доказательство. Используем индукцию по числу переменных, входящих в 1. Доказательство необходимости. Пусть
положительно определена. Тогда квадратичная форма
будет положительно определенной, так как если По предположению индукции все главные миноры формы
Остается доказать, что Положительно определенная квадратичная форма
Квадратичной форме
с определителем Линейное преобразование, заданное невырожденной матрицей В, преобразует матрицу С квадратичной формы в матрицу 2. Доказательство достаточности. Предположим, что все главные миноры квадратичной формы положительны: Докажем, что квадратичная форма
где Осуществляя замену переменных
Определитель матрицы этой квадратичной формы равен Для того чтобы квадратичная форма
была положительно определенной, а значит, чтобы все главные миноры матрицы
были положительны. Но это означает, что
т.е. что знаки главных миноров матрицы C чередуются, начиная со знака минус. Пример. Вычислить, является ли квадратичная форма положительно (отрицательно) определенной или неопределенной. а) Решение. Матрица квадратичной формы
Вычислим главные миноры матрицы С:
Квадратичная форма положительно определена. б) Решение. Вычислим главные миноры матрицы
Квадратичная форма является неопределенной. В заключение сформулируем следующую теорему. Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится квадратичная форма невырожденными линейными преобразованиями, не зависит от выбора этих преобразований.
7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7
7.1. Доказать, что если квадратичная форма с матрицей А положительно определена, то и квадратичная форма с обратной матрицей 7.2. Найти нормальный вид в области вещественных чисел
7.3. Найти нормальный вид в области вещественных чисел
7.4. Найти нормальный вид в области вещественных чисел
7.5. Найти нормальный вид в области вещественных чисел
7.6. Найти нормальный вид в области вещественных чисел
7.7. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами
7.8. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами
7.9. Привести квадратичную форму к каноническому виду с целыми коэффициентами
7.10. Доказать, что в положительно определенной форме все коэффициенты при квадратах неизвестных положительны и что это условие не является достаточным для положительной определенности формы. 7.11. Выяснить, какие из форм эквивалентны между собой в области вещественных чисел
7.12. Выяснить, какие из форм эквивалентны между собой в области вещественных чисел
7.13. Найти все значения параметра
7.14. Найти все значения параметра
7.15. Найти все значения параметра
  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
положительно определена.
либо положительно определена (при 
), либо отрицательно определена (при 
). Неопределенные формы появляются при 
.
.
. Для квадратичной формы, зависящей от одной переменной 
, 
и утверждение теоремы очевидно. Положим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной формы 
.
, то при 
.
положительны, т.е.
.
.
.
соответствует диагональная матрица
.
. Но так как 
то 
.
.
. Поэтому 
. Сделав соответствующую замену переменных 
и положив 
, получим
,
- какие-то новые коэффициенты.
, получим
.
, а так как знак его совпадает со знаком 
, то 
, и, значит, квадратичная форма 
- положительно определена. Теорема доказана.
.
имеет вид:
.
.
положительно определена.
.
.
.
.
.
.
.
, при которых квадратичная форма положительно определена
