Рухлива фізкультхвилинка

Питання для узагальнення

– Які державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів в освітньої галузі «Математика» з теми «Арифметичні дії над числами»?

2. Несумірні відрізки і ірраціональні числа. Невід’ємні дійсні числа

Нехай маємо деякий відрізок а і певну одиницю виміру е.

Як зазначалося, може бути 2 випадки:

1) одиничний відрізок е вкладається ціле число, наприклад п разів, у відрізку а, і тоді вважають, що довжина відрізка а дорівнює пе: а = пе;

2) одиничний відрізок е не вкладається у відрізку а ціле число разів, тобто після п відкладань залишиться деякий відрізок – остача r < e. Тоді можна записати, що , де r < e.

Природно поставити запитання, яку нову, меншу за е, але пов’язану з е, одиницю виміру слід узяти, щоб вкладалася ціле число разів у відрізку а? Чи завжди має розв’язок ця задача?

Якщо відрізок а сумірний з е, то а виражається через е раціональним числом , тобто спільною мірою відрізків а і е буде відрізок .

Якщо відрізки а і е не матимуть спільної міри, то довжину а не можна виразити через е ніяким раціональним числом. У зв’язку з цим множину раціональних чисел розширено введенням нових чисел, які назвали ірраціональними (не раціональними).

Слово «ratio» латинською мовою означає «відношення», тобто будь-яке раціональне число можна зобразити у вигляді відношення двох цілих чисел: де g ≠ 0. Ірраціональне число не можна зобразити у вигляді відношення двох цілих чисел.

Існування несумірних відрізків виявили ще піфагорійці (VI ст. до н.е.), але вони не ввели ірраціональних чисел для їх вимірювання, бо вважали, що довжина – величина неперервна, а число – дискретна (розривна). У відкритті несумірних відрізків вони вбачали «велику таємницю», розголошення якої переслідувалось і «каралося богом».

У «Началах» Евкліда також ірраціональні числа фактично не використовувались. Вперше свідомо почали оперувати ірраціональними числами індійські та китайські математики, переносячи на них усі правила дій над коренями, що являють собою раціональні числа.

Дійсні числа = раціональні числа + ірраціональні числа.

Раціональне число можна подати у вигляді звичайного дробу, десяткового дробу, нескінченого періодичного десяткового дробу (чистого і мішаного). Н.: .

Ірраціональні числа – числа, які можна записати у вигляді нескінченого десяткового неперіодичного дробу. Н.: .

Внаслідок розширення множини невід’ємних раціональних чисел введенням ірраціональних (додатних) чисел стала завжди можливою задача вимірювання відрізків: тепер кожній точці числового променя можна поставити у відповідність тільки одне дійсне число (раціональне чи ірраціональне), і навпаки. Саме в цьому і полягає ідея неперервності числового променя і множини невід’ємних дійсних чисел. Між множиною невід’ємних дійсних чисел і множиною точок числового променя існує взаємно однозначна відповідність.

Два ірраціональних числа вважають рівними, якщо вони виражають довжини рівних між собою відрізків.

У множині дійсних невід’ємних чисел зберігаються основні властивості відношень «рівно», «більше», «менше», які було встановлено для невід’ємних раціональних чисел.

Отже, при десятковому вимірюванні довжин відрізків можуть отримуватись нескінченні десяткові неперіодичні дроби, вони є записом нових чисел – додатних ірраціональних чисел.

– ірраціональні числа. Позначаються: I

Таким чином: R = Q I

Питання для узагальнення

– Які числа називаються раціональними?

– Які числа називаються ірраціональними?

– У чому полягає ідея неперервності числового променя і множини невід’ємних дійсних чисел?

3. Визначення арифметичних дій над дійсними числами

Сумою двох ірраціональних чисел α і ß називається число, яке більше за суму будь-яких їх наближених значень, взятих з недостачею, але менше за суму будь-яких їх наближених значень, взятих з надлишком.

Питання для узагальнення

– Скількома способами можна виконати арифметичну дію над періодичними десятковими дробами?

– Що називається сумою двох ірраціональних чисел α і ß?

– Що називається добутком двох ірраціональних чисел α і ß?

Рухлива фізкультхвилинка

4. Від’ємні числа. Множина дійсних чисел, їх упорядкованість

Натуральні числа виникли на початку розвитку людства у зв’язку з лічбою предметів. Потреба вимірювання величин, а також вимога виконання обернених операцій, зокрема ділення, добування кореня і логарифмування, привели до введення дробових та ірраціональних чисел.

Як і коли виникли від’ємні числа?

Поняття про від’ємні числа виникло значно пізніше, ніж поняття дробових і ірраціональних чисел. Введення від’ємних чисел було новим етапом розширення поняття числа, викликаним практичною необхідністю; по-перше, потребою вимірювання напрямлених величин і величин, які можна розуміти в двох протилежних значеннях (температура – тепло і холод; час – майбутній і минулий; економія матеріалів і перевитрата і т.ін.); по-друге, потребою в розв’язуванні практичних задач, що приводять до віднімання від меншого числа більшого. Обидві ці задачі тісно пов’язані між собою.

Вперше від’ємні числа почали використовувати в Китаї в І ст. до н.е. у зв’язку з розв’язуванням рівнянь. Оскільки в ті часи знаків «плюс» і «мінус» ще не було, то на відміну від додатних чисел китайці зображали від’ємні числа іншим кольором. Додатними числами позначали майно, наявні гроші, прибуток. Їм раділи і зображали їх червоним кольором (китайці їх називали «чен»). Від’ємними числами позначали борг, збиток і зображали їх чорним кольором («фу»).

Індійські математики Брахмагупта (VII ст.) і Бхаскара (XII ст.) дали такі правила дій над від’ємними і додатними числами: «Сума майна і майна є майно». «Сума двох боргів є борг». «Сума майна і боргу дорівнює різниці». «Сума майна і рівного йому боргу дорівнює нулю». «Добуток боргу на борг є майно» і т.ін.

Проте важко було уявити, як це з «боргів» (перемноження за схемою ) може вийти «майно»? Тому довго від’ємні числа не визнавали справжніми, вважали їх недійсними, абсурдними, фіктивними. Бхаскара писав, що люди не схвалюють від’ємних чисел.

У Європі вперше від’ємні числа почав використовувати італійський математик Л. Фібоначчі (XII – XIII ст.). Німецький математик М. Штіфель (XVI ст.) назвав їх «числами, меншими ніж ніщо» (меншими від нуля). Людям важко було миритися з тим, що існує величина, «менша ніж ніщо». Сам Штіфель писав, що нуль знаходиться між істинними і абсурдними числами. Тільки після того, як у XVІI ст. французький математик Рене Декарт у відомій книзі «Геометрія» зобразив на числовій прямій додатні числа праворуч від нуля, від’ємні числа – ліворуч, їх почали визнавати дійсними числами.

Від’ємне число можна розглядати як різницю між меншим дійсним числом і більшим, якщо ця різниця виражає значення величини, протилежне значенню, що виражається дійсним числом (тепло і холод, борг і наявні гроші, прибуток і збиток, вправо і вліво тощо).

Від’ємні числа слід розглядати в тісному взаємозв’язку з додатними числами, причому не тільки в протиставленні їх додатним числам, а й в діалектичній єдності з ними.

Нова розширена множина містить у собі відомі вже невід’ємні числа як свою підмножину. Множина від’ємних чисел не містить у собі множини чисел додатних, як це було з множиною дробів, яка містила в собі числа натуральні. Навпаки, тут кожному додатному дійсному числу ставиться у відповідність протилежне йому від’ємне число. При цьому число нуль набуває нового смислу як число, яке «розділяє» додатні і від’ємні числа і належить ні до тих, на до інших. Разом же всі додатні, від’ємні числа і нуль об’єднуються в одну множину – множину дійсних чисел R. Саме в цьому і виявляється діалектична єдність додатних і від’ємних чисел.

Звертаємо увагу на недопустимість ототожнення смислу виразів виду «нуль карбованців» і «нуль градусів». Вираз «температура 0°» зовсім не означає відсутність температури (хоч іноді у повсякденному житті при вимірюванні температури людського тіла і говорять «немає температури» замість «температура нормальна»).

Невід’ємні числа – це числа нової природи, вони мають свої особливості і тому на них не можуть бути механічно перенесені всі властивості додатних чисел, зокрема означення і закони дій.

Поняття «правильний дріб» має смисл лише для додатних дробів.

Особливість частки від ділення двох раціональних чисел, із яких хоча б одне від’ємне, пов’язана з неможливістю кратного порівняння цих чисел, яка зумовлюється тим, що напрямлені величини (вектори) можна порівнювати в кратному відношенні лише за модулем (довжиною).

Оскільки від’ємні числа є числами нової природи, введення їх потребує перегляду існуючих означень прямих дій, розширення їх у випадку, коли для нових чисел вони не мають попереднього смислу.

Кожному додатному числу на числовій прямій відповідає так саме за величиною число, але із знаком мінус. Такі пари дійсних чисел називаються протилежними числами.

Наприклад, +1 і –1; +2,5 і –2,5; +3,(8) і –3,(8), і – і та ін.

Тільки нуль без пари: він не належить ні до додатних, ні до від’ємних чисел: –0= +0 = 0. Як відомо знак «+» перед додатними числами, як правило, не ставиться.

Отже, від’ємні числа слід розглядати в тісному взаємозв’язку з додатними числами, причому не тільки в протиставленні їх додатним числам, а й в діалектичній єдності з ними.

Питання для узагальнення

– Які числа називаються від’ємними?

– Як утворилась множина дійсних чисел?

5. Арифметичні дії над від’ємними числами

Із двох від’ємних чисел те більше, модуль якого менший.

Означення. Сумою двох дійсних чисел одного знака називається сума їх модулів, взята з тим самим знаком, який мають доданки.

Сумою двох дійсних чисел, взятих з різними знаками, називається різниця між більшим і меншим модулем даних чисел, взята із знаком числа, модуль якого більший.

Наслідки.

1. Сума двох протилежних дійсних чисел дорівнює нулю:

2. Сума двох дійсних чисел, одне з яких дорівнює нулю, дорівнює другому доданку:

Введене означення суми дійсних чисел узагальнюється на випадок будь-якої кількості доданків.

Безпосередньо із означення дійсного числа та з означення суми дійсних чисел випливають основні властивості дії додавання дійсних чисел, які мали місце на множині дійсних невід’ємних чисел.

Означення дії віднімання дійсних чисел залишається таким самим, як і для дійсних невід’ємних чисел.

Означення. Відняти від дійсного числа а дійсне число b – це означає знайти таке дійсне число х, яке в сумі з b дає а: ,

Правило. Щоб знайти різницю двох дійсних чисел, треба до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику:

Оскільки віднімання дійсних чисел зводиться до додавання, то у множині дійсних чисел додавання і віднімання об’єднують в одну дію, яку називають алгебраїчним додаванням.

Означення. Вираз, що являє собою запис кількох дійсних чисел, послідовно з’єднаних знаками дій додавання і віднімання, називається алгебраїчною сумою дійсних чисел.

Означення. Добутком двох дійсних чисел називається добуток їх модулів, якщо дані числа з однаковими знаками або хоч одне з них нуль, і число, протилежне добутку їх модулів, якщо числа з різними знаками.

Правило. Щоб перемножити кілька дійсних, відмінних від нуля чисел, треба перемножити їх модулі і взяти результат із знаком «плюс», якщо число від’ємних співмножників парне, і із знаком «мінус», якщо число від’ємних співмножників непарне.

Основні закони дії множення зберігаються і на множині всіх дійсних чисел.

Означення. Знайти частку від ділення дійсного числа а на b, це означає знайти таке дійсне число с, щоб задовольнялася умова , де

Правило. Частка від ділення двох дійсних чисел дорівнює частці від ділення модуля діленого на модуль дільника із знаком «плюс», якщо ділене і дільник є числа з однаковими знаками, із знаком «мінус», якщо ділене і дільник числа з різними знаками.

Підкреслюємо, що і у множині дійсних чисел ділення на нуль виключається, оскільки у випадку немає такого дійсного числа с, щоб виконувалася умова ; у випадку будь-яке дійсне число с задовольняє умову .

Частка дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ділене дорівнює нулю. Звідси випливає, що рівняння виду при не має розв’язку.

Частка , де , завжди існує, і притому єдина. Окремі випадки ділення: , якщо ; ; .

Таким чином, у множині дійсних чисел виконуються всі чотири арифметичні дії (за винятком ділення на нуль).

Отже, с умою двох додатних чисел є число додатнє i знаходиться за правилами, визначеними на множині додатних дійсних чисел. Сумою двох від’ємних чисел є число від’ємне. Щоб знайти модуль суми, треба додати модулі доданків. Сумою двох чисел із різними знаками є число, що має знак доданка з більшим модулем. Щоб знайти модуль суми, треба від більшого модуля відняти менший.

Добутком двох дійсних чисел є число, що задовольняє умовам: д обутком двох додатних чисел є число додатнє i знаходиться за правилами, визначеними на множині додатних дійсних чисел. Добуток двох від’ємних чисел є число додатнє. Щоб знайти модуль добутку, треба перемножити модулі цих чисел. Добуток двох чисел з різними знаками є число від’ємне. Щоб знайти модуль добутку, треба перемножити модулі цих чисел.

Віднімання i ділення дійсних чисел визначаються як дії, обернені відповідно додаванню i множенню.

Питання для узагальнення

– Як знайти суму двох дійсних чисел, взятих з різними знаками?

– Як знайти добуток двох дійсних чисел, взятих з різними знаками?

– Чому дорівнює добуток двох від’ємних чисел?

III. Заключна частина

Загальний висновок

Дійсні числа = раціональні числа + ірраціональні числа.

Раціональне число можна подати у вигляді звичайного дробу, десяткового дробу, нескінченого періодичного десяткового дробу (чистого і мішаного).

Ірраціональними числами називають числа, які можна зобразити нескінченними десятковими неперіодичними дробами.

Числа, розташовані на координатній прямій в заданому напрямку, називаються додатними, а числа, розташовані на координатній прямій у напрямку, протилежному заданому, – від’ємними. Число 0 – нi додатнє, нi від’ємне.

Об’еднання множини від’ємних дійсних чисел з множиною додатних дійсних чисел i нулем є множина дійсних чисел R. R = R R 0

Множина R i множина точок координатної прямої знаходяться у взаємно однозначній відповідності: кожному дійсному числу відповідає єдина точка координатної прямої i навпаки.

Відстань від початку вiдлiкy до точки, координатною якої є число х, називається модулем числа i позначається .

якщо х ≥ 0

якщо х< 0

Дійсні числа порівнюють, визначаючи відношення «менше» i «більше», так:

а < b, якщо воно розташоване на координатній прямій лівіше;

а > b, якщо воно розташоване на координатній прямій правіше.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: